Le chaos mathématique - le Calendrier de l'Avent du 12 décembre

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Pour sa douzième archive du Calendrier de l’Avent, le Cafignon a dégoté, dans le n°64 de février 1994, un article pour le moins hors du commun : tout d’abord, fait original, il est rédigé par un professeur : Alain Robert, toujours en poste aujourd’hui. Deuxièmement, il est consacré aux mathématiques, loin du plus conventionnel article littéraire. Ici, on parle probabilités, équations, chiffres et problèmes à résoudre. Le tout, pour comprendre ce qu’est le chaos. De quoi plaire au scientifiques purs et durs, souvent quelque peu oubliés des pages du journal. Avec une évidence certaine : si le professeur enseignait la philosophie, il est certain que nous aurions vu le chaos sous un tout autre angle…

Qu’est-ce que le chaos?

Dans une foire, nous observons la roue aux millions qui tourne… et qui fait une bonne douzaine de tours avant de s’arrêter sur le chiffre de la chance ou de la malchance… Le forain qui l’an lancée, qui est un habile jongleur par ailleurs, est-il capable de lui imprimer toujours la même énergie pour vous défavoriser? S’il est très adroit, il pourra assurer au demi-tour près son nombre total de tours avant l’arrêt. Mais il se trouve que les grands chiffres sont placés tout près des petits… et le frottement du clapet, la friction de l’axe – voire les courants d’air – vont avoir une influence non négligeable, rendant l’adresse de l’opérateur inutile (cette dernière sera surcompensée par ces effets secondaires). ON parle alors de dépendance sensible aux paramètres. Cette notion de dépendance sensible de paramètres est une première condition à l’apparition du chaos.

Il en va de même pour les prévisions météorologiques à long terme. En principe, la situation future est déterminée par la connaissance exacte de la situation à un instant donné. Mais connaître exactement la répartition des pressions et températures à la surface de la terre en un instant donné n’a pas de sens : devrait-on par exemple tenir compte dans les relevés de tous les bruits, qui sont des ondes sonores, et donc des surpressions en déplacement rapide?

Et le papillon qui passe de fleur en fleur, en battant des ailes, crée aussi des variations de pression ! La notion de pression atmosphérique est par définition une moyenne locale : ceci est d’autant plus vrai que l’air n’est pas un fluide parfait mais une structure moléculaire, atomique… Notre connaissance du monde dans lequel nous visons est remarquablement précise : nous savons que la chaîne des Alpes s’élève d’environ 1mm par an… mais la dépendance sensible en les paramètres rend même cette connaissance insuffisante pour une détermination à long terme – disons plus d’un an – de prévisions météorologiques. L’évolution d’un système naturel ne peut être décrite parfaitement par des équations déterministes de physique mathématique.

Alain Robert, professeur de mathématiques

Toute description de la nature fait appel à des compromis. Elle peut utiliser une théorie probabiliste (phénomènes aléatoires, processus stochastiques), telle la théorie quantique, dont l’aspect probabiliste est prépondérant. Plus récemment, les mathématiciens ont remarqué que sans renoncer au tranchant de l’épée du tiers-exclu, on peut travailler avec des relations moins rigides que celles de la théorie des ensembles traditionnels : ensembles flous, analyse non standard… Ces points de vue nouveaux permettent une transition plus souple entre le discret et le continu et vont certes contribuer à améliorer notre compréhension du chaos.

La possibilité d’utiliser des ordinateurs de plus en plus puissant nous a révélé plusieurs phénomènes insoupçonnés : l’apparence de chaos peut surgir d’un processus déterministe (voir encadré ci-dessous sur une itération de calcul simple). Lorsqu’on itère un grand nombre de fois un type d’opération – on parle de dynamique de l’itération – le désordre apparent possède une structure intéressante. Ce chaos déterministe fait apparaître des figures nouvelles : les attracteurs étranges, composés de fractals. L’un de ceux-ci a été découvert par Michel Hénon à Nice aux alentours de 1976. La structure self-similaire à toutes les échelles de ces figures rend inutiles un agrandissement, car on retrouve les mêmes images quel que soit l’agrandissement.

De façon plus générale, l’importance de la turbulence se fait sentir en biologie, médecine, écologie, météorologie, … de sorte que l’enjeu de ces problèmes est énorme. Le problème de la description (ou modélisation) du chaos reste un défi majeur de la pensée scientifique.

Naissance du chaos

Prenons un nombre entre 0 et 1 (différent de 1/2). Par exemple 1/3 convient. Effectuons les opérations suivantes dans l’ordre indiqué : élever le nombre au carré, doubler puis soustraire 1. On obtient un nouveau nombre avec lequel on peut ensuite recommencer les opérations et ainsi de suite. Il se trouve que tous les nombres obtenus sont compris entre -1 et +1. Essayons ensuite de tenir une comptabilité des signes qui interviennent (+ - + - + - - + + - - + - …) et posons-nous la question de trouver le signe du centième nombre de la suite. Ce signe dépend déterministiquement du nombre initialement choisi. Mais la dépendance sensible en les paramètres rend le résultat apparemment aléatoire. En voici l’explication : Appelons t l’angle dont le cosinus donne le nombre initialement choisi. Après la première opération, l’angle dont le cosinus donnera le résultat trouvé est 2t, et ainsi de suite, après 100 opérations, l’angle dont le cosinus donnera le résultat sera 2x2x….x2t (2 multiplié 100 fois par lui-même est un nombre ayant 31 chiffres dans le système décimal !). La moindre erreur d’arrondi (par exemple le fait que la calculatrice ne prend que 10 ou 12 décimales pour exprimer 1/3) va se trouver répercutée et amplifiée par ce nombre énorme. L’angle final représentera un grand nombre de tours (comme dans la roue aux millions !) et on ne devra pas se fier au calcul numérique pour savoir si l’angle observé en fin de compte est aigu ou obtus (détecté précisément par le signe du cosinus).

La naissance du chaos, version mathématique

Dans cet exemple, le chaos naît des erreurs d’arrondi (il n’y a pas d’indéterminisme théorique). Mais l’adéquation entre théorie et pratique fait naître une incertitude due à la dépendance sensible des paramètres.

On peut observer le fait que l’itération de transformations quadratiques (dans le plan complexe) est à l’origine du fractal de Mandelbrot ; c’est aussi l’itération de telles transformations (dans le plan réel) qui est à l’origine de l’attracteur étrange de Hénon.

Le napperon de Sierpinski

Imaginons un jeu entre trois personnes qui, assises aux trois sommets d’un triangle, cherchent à attirer un jeton dans leur direction. La règle est la suivante. Ils utilisent un dé pour décider qui a le droit de l’approcher de son siège de 50%. Cela signifie que par exemple, si le dé montre l’une des faces 1 ou 2, c’est le premier joueur qui attire le jeton dans sa direction en lui faisant parcourir la moitié de la distance qui l’en sépare. Si le dé montre l’une des faces 3 ou 4, c’est le deuxième joueur qui est autorisé à attirer le jeton dans sa direction et de même les faces 5 ou 6 donne sa chance au troisième joueur… et on recommence… La position initiale du jeton (à l’intérieur du triangle formé par les trois personnes) a peu d’importance : c’est sa dynamique qui nous intéresse et pour l’appréhender, nous programmons cette expérience sur un ordinateur dont l’imprimante va dessiner la succession des positions du jeton par des points dans le triangle, et après avoir enlevé les huit premiers, on obtient la figure suivante.

Le napperon de Sierpinski

Le fameux napperon de Sierpinski apparaît… ON obtient donc un fractal particulièrement simple qui présente beaucoup de symétrie, self-similarités, … Cette figure est une courbe de longueur infinie. On peut calculer la distance moyenne du pion à l’un des joueurs, égale à la moyenne temporelle prise sur un très long jeu. On rencontre ce schéma dans d’autres contextes, par exemple dans l’étude de parité des nombres du tableau triangulaire de Pascal.

Le désordre apparent fait peu à peu place à une loi intéressante. Ce sont ces lois, connues ou à découvrir, qui font l’intérêt des recherches sur le chaos.

Signalons le fait que des expériences similaires de supraconductivité sur les napperons de Sierpinski sont conduites à l’institut de physique de Neuchâtel.

Alain Robert

Professeur de Mathématiques

 

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À propos de Lena Würgler

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